Fédération de recherche Math-STIC de l'université Paris 13

FR3734

Journée "Fractales, Probabilités et Systèmes Dynamiques" (17 décembre 2014)

Une journée Math-STIC (Axe 3) Fractales, Probabilités et Systèmes Dynamiques, à laquelle chacun est le bienvenu, a lieu le 17 décembre 2014.

Les exposés auront lieu dans la salle B 405 à l'Institut Galilée.

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Le programme est le suivant :

9h: Accueil, petit déjeuner.

9h45-10h45: Vincent VARGAS (ENS), "Some new estimates on the Liouville heat kernel".

Abstract: Liouville quantum gravity (LQG) is a conformal field theory conjectured to be the scaling limit of large random planar maps properly embedded in the sphere. For instance, the area measure of planar maps is expected to converge to the natural area measure associated to LQG, the so-called Liouville measure (formally) defined by the exponential of the Gaussian Free Field (defined rigorously via the theory of Gaussian multiplicative chaos). Liouville Brownian motion (LBM) is the natural diffusion process associated to the Liouville measure. In this talk, I will consider the Liouville heat kernel, defined as the density of the LBM with respect to the Liouville measure. More precisely, I will present regularity estimates and non trivial off-diagonal bounds for the Liouville heat kernel. Based on joint work with P. Maillard, R. Rhodes and O. Zeitouni.

11h00-12h00: Shen LIN (Paris-Sud), "Mesure harmonique près d'un point typique sur un grand arbre de Galton-Watson critique''.

Résumé : Considérons une marche aléatoire simple sur un arbre de Galton-Watson critique conditionné à avoir une hauteur supérieure à $n$. La loi du point d'atteinte de la hauteur $n$ par la marche aléatoire s'appelle la mesure harmonique au niveau $n$. Il est bien connu que le cardinal de l'ensemble des sommets de l'arbre au niveau $n$ est de l'ordre de $n$. En 2013 Curien et Le Gall ont prouvé qu'il existe une constante $\beta=0.78...$ telle que la mesure harmonique est portée, à un ensemble de masse arbitrairement petite près, par un ensemble de cardinal de l'ordre de $n^\beta$. Dans cet exposé, nous présentons l'existence d'une nouvelle constante universelle $\lambda=1.21...$ telle que, avec grande probabilité, la mesure harmonique portée par un sommet typique à la hauteur $n$ est de l'ordre $n^{-\lambda}$.

12h00-13h30: déjeuner

13h45-14h45: Renaud LEPLAIDEUR (Brest), "Transitions de phase dans les quasi-cristaux. Le cas de la dimension 1''.

Résumé : Je rappellerai les notions de base du formalisme thermodynamique pour le shift $\{0,1\}^\N$ (mesure de Gibbs, mesure d'équilibre, pression) et donnerai la définition d'une transition de phase dans ce formalisme. J'expliquerai brièvement pourquoi il n'est pas facile d'en exhiber. J'expliquerai alors en quoi elles semblent liées à des opérateurs de renormalisation (tant pour la dynamique que pour les potentiels) et comment les substitutions (et/ou plus généralement les quasi-cristaux) sont des solutions naturelles de ces renormalisations. L'exposé ne demande pas de pré-requis particulier, toutes les notions seront redéfinies.

15h00-16h00: Stéphane SEURET (Paris-Est), "Percolation sur une mesure de Gibbs''.

Résumé : Nous considérons une mesure de Gibbs sur un arbre dyadique, sur lequel nous effectuons une procédure de percolation. Cette opération permet de construire une capacité de Choquet et de définir un nouveau modèle d'énergie aléatoire. Nous verrons que ce modèle présente deux transitions de phases et expliquerons quelle est la nature multifractale de la capacité et ses liens avec celle de la mesure de Gibbs (Travail en collaboration avec J. Barral).